質問： "not" と "don't" って、どう違うのですか？
回答： "not" は何かを「～ではない」と否定するときに使われます。 "don't（do not）" は、その使われ方の１つです。
"don't" は "do not" が短縮された言葉です。 なので、"don't" は "not" を含有します。 "not" と "don't" は別々の言葉というよりも、一方が他方に含まれる関係です。
1. "don't" の例
例えば、"I walk.（私は歩く）" を否定して「私は歩かない」を意味する文にすると、次の通り：
I do not walk.
"I walk." に単に "not" を加えて "I not walk." とするのではなく、"I walk." に助動詞 "do" を追加し、その "do" に "not" を添えるわけです。
私は歩かない。
"do" は「～をする」という意味の動詞として知られますが、疑問文や否定文を作るときの助動詞としても使われます。
この "do not" を短縮したのが "don't" です。
I don't walk.
私は歩かない。
2. "don't" 以外の "not" の用途
"don't（do not）" 以外にも "not" は実に様々な使われ方をしますが、ほんの一例をここに挙げておきましょう：
- Not me.（私じゃない）
- Not now.（今じゃない、今はダメだ、今は無理）
- I am not a child.（私は子供じゃない）
この点について興味がある方は、「"Do you...?" と "Are you...?" の違いをやさしく説明」を参照してください。