「イッツ ア スモールワールド」を英語に戻すと "It's a small world." です。

• It's ・・・ "It is" の短縮形
  • it ・・・「それ」を意味する代名詞
  • is ・・・「～である」を意味する動詞。 Ｂｅ動詞
• a ・・・ 不定冠詞。 意味は「１つの」だが、訳す必要は無いことが多い。
• small ・・・「小さな」を意味する形容詞
• world ・・・「世界」を意味する名詞

上記から、"It's a small world." の和訳は「それは小さな世界です」。 この和訳を自然な日本語にしたのが冒頭に記載した「世界は小さいんだ」です。

あなたが知る「イッツ ア スモールワールド」は、ディズニーランドのアトラクションだと思います。

ディズニーランドの「イッツ ア スモールワールド（It's a Small World）」は、ボートに乗って世界の様々な文化の衣装に身を包む人形が立ち並ぶ中を通過するアトラクションです。 ボートに乗る間は世界平和をテーマとする歌が絶え間なくスピーカーから流れ、子どもたちの純白の心に愛と平和の精神を刷り込みます。

こんなアトラクションですから、「イッツ ア スモールワールド」というフレーズが持つ意味も世界平和でしょう。

「世界平和」と「世界の小ささ」の関連付けが多少難しいですが、次の感じでしょうか：

世界は小さいんだ。 互いに譲り合って仲良くしようよ。

「イッツ ア スモールワールド（It's a Small World）」はシャーマン兄弟（リチャード・シャーマンとロバート・シャーマン）が作った曲の名前でもあります。

3.3. ２つの「イッツ ア スモールワールド」の関係

楽曲「イッツ ア スモールワールド」とアトラクション「イッツ ア スモールワールド」は深い関係にあります。 次の通り：

1. 1962年ごろ、ウォルト・ディズニーは世界平和をテーマとするアトラクションを作ろうとしていた。 アトラクションの仮称は「世界の子どもたち（Children of the World）」。 世界中の国歌が一斉に流れる中をボートに乗って通過するという趣向だった。 不協和音が鳴り響く悪夢のような情景だったのは言うまでもない。
2. そこでディズニー氏はシャーマン兄弟に、このアトラクション用の曲の作成を依頼した。
3. そうして出来上がったのが名曲「It's a small world」。 この名曲をいたく気に入ったディズニー氏は、アトラクションの名前を「It's a small world」に決定した。

最後に、名曲「It's a small world」の英語版の歌詞のうちメッセージ性がある部分を紹介しておきましょう。 次の通りです：