質問： 「アークエネミー」や「パブリックエネミー」の「エネミー」とは、どういう意味ですか？
回答： 「敵」という意味です。
詳しくは以下をご覧ください。
1. 元の英語
「エネミー」を英語に戻すと "enemy" で、この "enemy" の意味が「敵」です。
2.「エネミー」を含む表現
2.1. アークエネミー
英語に戻すと "archenemy"。 意味は「主要な敵、最強の敵」です。
"archenemy" は "arch-" と "enemy" から成ります。 "arch-" は「主要な、最上の」などを意味する接頭辞です。
「仇敵」や「不倶戴天の敵」は "mortal enemy" です。 「モータル」の意味については、拙著『「モータルコンバット」の正確な意味は？』をご覧ください。
2.2. パブリック・エネミー
英語に戻すと "public enemy"。 意味は「公共の敵、社会の敵」です。
「社会の敵」とは例えば、暴力団や半グレなど反社会的勢力や騒音バイクです。"public" は「公共の、公（おおやけ）の」という意味。
"public enemy" は「公敵」と訳したくなりますが、「公敵」という言葉は国語辞典には載っていません。Public Enemy No.1
"Public Enemy No.1"（パブリックエネミー・ナンバーワン）というフレーズもあります。 意味は「社会の一番の敵」です。
もともとは２０世紀前半に米国で悪名を馳せたギャング「アル・カポネ（Al Capone）」を指す言葉でした。
2.3. エネミーライン
英語に戻すと "enemy line"。 意味は「敵軍の布陣」です。
映画『エネミー・ライン』
『エネミー・ライン』という米国映画があります。
映画『エネミー・ライン』の原題は "Behind Enemy Lines" です。
"Behind Enemy Lines" は「敵地（敵軍の支配下にある領域）で」という意味です。
"behind" に「～の後ろで（に）」などの意味があります。
2.4. ナチュラル・エネミー
英語に戻すと "natural enemy" で、意味は「天敵」です。
"natural enemy" は「（害虫を食べる）益虫、益獣」の意味でよく使われます。