"the day when..." の意味は?

質問.: "the day when..." って、どういう意味ですか?

回答....な日」という感じの意味です。 詳しくは以下をご覧ください。

基本

"the day when..." では、"the day" がどういう日なのかを "when..." の部分が説明しています。

例えば "the day when I met you" は「私があなたに会った日」という意味ですが、このフレーズでは "when I met you" の部分が "the day" に関して「"I met you" が発生した」という情報を付加しているわけです。
"met" は "meet" の過去形です。 "meet" には色々な意味がありますが、ここでは「会う」の意味で使われています。

"the day when..." の "when" は関係副詞で、"when..." の "..." の部分にはが入ります。 「節」とは「主語+動詞」を基本とする構造のことです。 上述の "I met you" も節です。

現在・過去・未来

"the day when..." の "..." の部分には現在形だけでなく過去形や未来形も来ることが出来ます。 "..." には、どんな時制でも入り得ます。
the day when you forget me.
あなたが私を忘れる日
"forget" は「忘れる」という意味です。
the day when you forgot me
"forgot" は "forget" の過去形です。
the day when you'll forget me
あなたが私を忘れる(であろう、未来の)日
"you'll" は "you will" の短縮形です。

用例

"the day when..." は名詞句または副詞句として使われます。 何が言いたいかと言えば、"the day when..." は本来は "the day" を核とする名詞句だけれど副詞句としても使われるんだよ、ということです。
先ほどの説明で「"when..." の "..." の部分にはが来る」と述べましたが、「節」というのは "..." の部分に限っての話です。 "the day when..." 全体では(複数の語から成るが「主語+動詞」という構造を持たない)です。

名詞句

I remember the day when she stole my boyfriend.
私は彼女が私のボーイフレンドを奪った日を覚えている。
"the day when..." が "remember" という動詞の目的語となっています。 目的語になるのは名詞なので、が目的語として使われていれば、それは名詞句です。
Today is the day when I start changing the way I live.
今日こそが、私が生き方を変え始める日だ。
"the day when..." が補語として用いられています。 第二文型(SVC)のCに当たるのが "the day when..." です。 補語になるうるのは名詞か形容詞です。
The day will come when she's tired of not being a priority in your life.
あなたの人生において自分が最優先されるべき存在でないことに彼女がうんざりする日が来ることだろう。

"the day when..." が主語として用いられているケースです。 "the day when..." は主語として用いるには長すぎるので、"when" 以下が "come" という動詞の後ろに回っています。

後ろに回ってるのを元に戻すと次のようになります:

The day when she's tired of not being a priority in your life will come.

"the day when..." の "..." に相当するのは "she's tired of not being a priority in your life" の部分です。

副詞句

You will be loved the day when you will be able to show your weakness.
あなたは自分の(あなたの)弱さを表に出せた日に愛されるだろう。

"the day when" 以下を例えば "tomorrow" に置き換えても意味が通じます:

You will be loved tomorrow.(あなたは明日愛されるだろう)

"tomorrow" は副詞です。 したがって、その "tomorrow" と置き換えられる "the day when you..." は副詞句ということになります。
The day when I saw you my heart whispered, "Go and Talk To Her."
君を見た日、ぼくの心はささやいた。「彼女に話しかけてこい」

"The day when I saw you" を例えば "yesterday" に置き換えても意味が通じます:

Yesterday my heart whispered, "Go and Talk To Her."(昨日ぼくの心はささやいた。「彼女に話しかけてこい」)

"yesterday" は副詞です。 したがって、その "yesterday" と置き換えられる "the day when you..." は副詞句ということになります。

補足

"on which" への置き換え

"the day when..." の "when" は "on which" に置き換えることができます。
the day on which you forget me
あなたが私を忘れる日

"when" に比べて "on which" は堅苦しい言い方です。 法律文書などでよく見かけます。

省略

"the day when..." の "when" は省略が可能な場合があります。
the day you forget me
あなたが私を忘れる日

省略できないケースも少なくありません。

"the day" が「1日」の一部

次の例文では、"the day" が「1日」の一部の意味で使われています。
Most students do much better when they study early in the day when they are rested, and relax later in the day when they are tired.
ほとんどの学生は、十分に休息を取れている1日の早いうちに勉強し、疲れが溜まる遅い時間帯にリラックスするほうが成果が随分と良好です。

"early in the day" で「1日の早いうち、1日の早い時間帯」という意味です。 "later in the day" は「1日の(より)遅い時間帯、1日の後のほう」という意味です。 "later" が "early" と違って比較級となっている点に少し注意が必要かも。

この例文は、"the day when" で意味を捉えるのではなく、"early in the day when" や "later in the day when" で捉えるべきです。 "when..." により修飾されているのが "the day" だけではなく "early in the day" や "later in the day" だからです。

"the day" が「昼間」

次の例文では、"the day" が「1日」ではなく「昼間、日中」という意味で使われています。
Adult flies are mainly active during the day, when they feed and mate. At night they normally rest.
成体となったハエは主に日中に活動的となり食事したり交尾したりします。 夜間には一般的には休みます。

(以下は話が難しくなるので万人にはお勧めしません)

この例文では "the day" と "when" の間にカンマが入っていて、関係副詞 "when" が非制限的(継続的)用法として使われています。 このカンマがないと「食事したり交尾したりする日中に活動的となる」という多少おかしい(「活動的な日中に活動的になる」みたいな)意味になります。

関係詞の手前のカンマの有無により、関係詞節(when...)が先行詞(the day)の意味する範囲を限定(*)するかどうかが変わります。 カンマがある場合には、関係詞節は先行詞に対して説明を加えるだけであり、先行詞が意味する範囲を限定しません。 カンマがない場合には、関係詞は先行詞の意味範囲を限定します。

(*) このページの最初のほうでは、"the day when I met you" の説明の辺りで「説明」や「情報の付加」という言葉を使いましたが、あれも本当は「限定」です。 「限定」という言葉をいきなり使っても意味が通じないので、「説明」や「情報の付加」という言い方をしました。

具体的にどういうことかと言うと、カンマがない場合の「食事したり交尾したりする日中」という訳は、「日中のうち食事したり交尾したりするもの」というふうに「日中」の範囲を「食事したり交尾したりするもの」に限定して、「日中のうち食事したり交尾したりしないもの」との区別を暗示します。

一方、カンマがある場合には「日中に活動的となり食事したり交尾したりします」という具合に「(ハエの)日中」がどんな様子なのかを説明します。