＃ １つ目の "that" は同格の "that" です。 「"doubt" の内容が "that choice was the correct one" だ」という関係を示すのに用いられています。

"a doubt that that choice was the correct one" を直訳すると「その選択が正しいものだった（のか）という疑い」となります。 「という」の部分が１つ目の "that" です。

２つ目の "that" は「その、あの」という意味の形容詞（限定詞）です。

＃ １つ目の "that" は名詞節を導く接続詞です。 省略も可能ですが、この例文では省略されておらず、その結果 "that" が２つ続いています。

２つ目の "that" は「その、あの」という意味の形容詞。 "that purpose" は、その前に出ている "a purpose" を指しています。

"realize" はここでは「実現する」という意味、"by virtue of～" は「～により、～のおかげで」などの意味です。

＃ 上の例文と同じく、１つ目の "that" は名詞節を導く接続詞です。 省略可能です。

＃ "that that" の１つ目の "that" は、"so that～" という構文の一部です。

"so that～" は「～できるように、～するように」という意味です。 "so that～" の "that" は省略が可能です。（例. "so that you can fly（君が飛べるように）" → "so you can fly"）

"that that" の２つ目の "that" は、"the alleged infringing party" を指しています。 "party" は「当事者」という意味です。 "person" は「人」という意味ですが、個人も法人も指し得ます。 "party（当事者）" と "person（人）" とで意味の範囲が重なるので、"that person（その人）" で "the alleged infringing party" を指し示せます。

＃ １つ目の "that" は名詞節を導く接続詞で、２つ目の "that" は「あの、その」の意味です。

"rather" はそこまでの文脈の関係で放り込まれているだけなので、これを取り去っても文としては成立します。

"rather" を取り去り "I would say that that is fortunate." とすると、１つ目の "that" が "say that～" の "that" であると分かりやすいでしょう。

＃ １つ上の例文と同じく "rather that that" となっているパターン。

１つ目の "that" は名詞節を導く接続詞で、２つ目の "that" は「あの、その」の意味です。

"that that" の１つ目の "that" は、もっと前のほうにある "that"（太字）の "that" と同じような位置づけです。 "rather" と "that that" の間に "implies（含意する、暗に意味する）" が省略されています。

１つ目の "that" 以下 が "does not imply（含意しない）" の内容を表すのに対して、２つ目の "that" 以下は "implies（含意する）" の内容を表すので、この両者の対比を示すのに "rather" が使われています。

＃ １つ目の "that" が関係代名詞で、２つ目の "that" は「あの、その」の意味です。 １つ目の "that" は省略可能です。

＃ １つ目の "that" は名詞節を導く接続詞で、２つ目の "that" は「あれ、それ」という代名詞です。

"that that which" の "that which" は関係代名詞の "what（～なもの）" に置き換え可能で、そのように置き換えると次のようになります：

"...thinking that what does not make a profit is without value"

"what does not make a profit" の部分は「利益を生まないモノ」という意味です。

＃ 例文中の数字は、説明のため私が追加したものです。 この例文の５つの "that" の機能は次の通り：

⁽¹⁾・・・名詞節を導く "that"

⁽²⁾・・・「その」

⁽³⁾・・・'that' という言葉

⁽⁴⁾・・・関係代名詞

⁽⁵⁾・・・「あの」

＃ Merriam-Websterという辞書から拾ってきた一文です。

この例文では、２つ目の "that" が「"that" という言葉」の意味で使われています。 それが理由で斜字（イタリック）体になっています。 １つ目の "that" は同格の "that"。

＃ この "that that" は正しくは "that" です。 "that" １回で十分です。 この "that" は省略も可能なので、"that" がゼロでも大丈夫です。

この例文のように "that that" の次に冠詞が来ていれば、その "that that" は "that" の間違いだと考えて良いでしょう。 このように言えるのは、"that that" の２つ目の "that" は限定詞（その～、あの～）か代名詞（それ、あれ）かであり、いずれにしても冠詞と共には用いられないためです。

＃ これも上の例文と同じミスです。 "that that" の後ろに定冠詞 "the" が来ているので、一目でミスとわかります。

カリフォルニアの裁判所のサイトで見つけた文ですが、このように信頼性が高いはずの文書であっても、文章上のミスが発生しているわけです。

＃ この "that that" も正しくは "that" 一回。 "that that" の後ろに "this" が来ているので、"that that" が間違いだと判断しやすい。

"that this" という言葉の連続はあり得ます（例. ...said that this is...）が、"that that this" はあり得ません（そのはずです）。

＃ ネットの古着売買の書き込みでしょう。

この "that that" は "than that" の間違いです。 "other than" の "than" を "that" と打ち間違えたのでしょう。 よくあるミスです。 "rather than that" と書こうとして "rather that that" になってしまっているケースもあります。

＃ この "that that" も正しくは "that" 一回です。

"that that" の後ろに前置詞が続いている場合にも、その "that that" が "that" 一回の間違いだと考えて、まず間違いないでしょう。

＃ この "that that" も正しくは "that" 一回です。

しかし、文脈によっては "that that you" が正しいこともあり得ます。 その場合、Dale said that that you didn't even have herpes." は「デイルは、あのキミがヘルペス（感染症）ではないと言った。」という訳になります。

"you" などの人称代名詞は "this you（このあなた）" や "that me（その私）" といった具合に、指示形容詞としての "this" や "that" などと共に使われることがあるので、"that that you" という表現が意図的に使われているケースもあり得なくはありません。

＃ この例文は間違っていません。 人名などの固有名詞には指示形容詞が使われ得るので、「that that ＋ 固有名詞」 という連続は十分にあり得ます。