1.「ミッシング ユー」の意味
「ミッシング ユー」を英語に戻すと "missing you" です。
"missing you" は「あなたが恋しくて」という意味です（詳しくは下記参照）。
2. 解説
2.1. you
"you" は「あなた」という意味です。
2.2. miss
"miss" は色々な意味を持つ動詞ですが、"missing you" では「～がいないのを残念に思う、悲しく思う」や「～の不在をひしひしと実感する」という意味です。
2.3. miss you
"miss you" だけでは文として不完全（主語が無い）ですが、いちおう「あなたを恋しく思う」という意味です。
2.4. missing you
"missing you" では動詞 "miss" に "-ing" が付いています。 この "-ing" の解釈しだいで "missing you" は次の３つの意味に理解できます：
- あなたを恋しく思うこと（動名詞）
- あなたを恋しく思って（現在分詞。付帯状況の断片）
- あなたを恋しく思っている（現在分詞。現在進行形の断片）
カタカナの「ミッシング ユー」の原語にあたる "missing you" は、２.の付帯状況であることが多いと思います。 "missing you" の意味として冒頭に記載した「あなたが恋しくて」も、"missing you" を付帯状況の意味に訳しています。
以下に、例文を挙げつつ 1.～3. を簡単に説明します。 興味がある方は御覧ください。
3. 詳しい説明
以下は英語に興味がある人に向けた説明です。
3.1. ３つの意味
動名詞
"-ing" が名詞として機能するのが動名詞です。 次の３つの例文では、動名詞である "missing you" が主語であったり前置詞の目的語であったりします（主語になるのも目的語になるのも名詞）。
The pain of missing you is a beautiful reminder of the joy of loving you.
あなたを恋しく思う痛みは、あなたを愛する喜びの美しい名残りである。
＃ "missing you" が前置詞 "of" の目的語。 "The pain of missing you" を直訳すると「あなたを恋しく思うという痛み」。
Missing you could turn from pain to pleasure, if I knew you were missing me too.
あなたを恋しく思う気持ちも、あなたも私を恋しがっていると思えば痛みから喜びに変わろうというもの。
＃ 文頭の "Missing you" が動名詞で主語。 "if I knew you were missing me" のほうの "mssing you" は動名詞ではなく現在分詞（現在進行形）。
5 years have passed, but not a day goes by without missing you.
５年が過ぎたけれど、（未だに）あなたを恋しく思わない日はない。
＃ "missing you" が前置詞 "without" の目的語。 "not a day goes by without missing you" を直訳すると、「あなたを恋しく思うことなくしては１日も過ぎない」。
付帯状況
"-ing" が「～しながら、～しつつ」という付帯的な状況を表します。
I go to bed missing you and wake up missing you.
私はあなたを恋しく思いつつ床に就き、あなたを恋しく思いつつ目覚める。
Here I am in bed missing you like mad.
私は気が狂いそうなほどあなたを恋しく思いながら、こうしてベッドの中にいる。
I spent a day missing you.
私はあなたを恋しく思いながら一日を過ごした。
＃ あなたを恋しく思ううちに丸一日が過ぎてしまいました。
Another year has passed missing you.
あなたを恋しく思ううちに、また１年が過ぎた。
＃ あなたを恋しく思ううちに１年が過ぎてしまいました。
「あなたを恋しく思ううちに」は「あなたを恋しく思いながら」をオシャレに訳したものです。現在進行形
「be動詞 + ～ing」という構造で「～している」という現在進行形です。
I am missing you.
あなたが恋しい。
Half of me is missing... and the other half is missing you.
私の半分は失われていて... 残る半分はあなたを恋しがっている。
＃ １つ目の "missing" は「恋しく思う」ではなく「失われている」という意味。
「私の半分」とは「あなた」のことでしょう。 恋人と別れたときに自分の半身を失ってしまったtと感じ、その残る半分（私）が失われた半身（あなた）を恋しがっています。3.2. I miss you. と I am missing you.
英語圏のフォーラムで、"miss" 現在形（例. I miss you.）と 現在進行形（例. I am missing you.）の違いに関する議論を見かけたので、その内容（あくまでもフォーラムに参加した人たちの意見）をここに書き留めます：
- 現在形と現在進行形の使い分けは英語を母国語とする人にとっても難しい。
- 現在形と現在進行形のどちらか一方だけを使っても生活には差し支えがない。 どちらを使ってもＯＫだ。
- 現在進行形は現在形に比べてボヤっとした表現。 言葉数が多いからムダが多く、切れ味に欠ける。
- 現在進行形は現在形よりも急性的あるいは一過性で、それゆえに強い感情を伴う。 つまり現在進行形は「今あなたが恋しい気分なの」という感じ。 「今はアナタを恋しく思う気持ちが高まったムードだから普段よりもアナタが恋しい。 けれど、そういうムードがずっと続くわけじゃないの」ということ。