1. "lemme" は "let me"
"lemme" は "let me" が訛った表現です。 したがって、"lemme" は "let me" と同じ意味です。
They were more than happy to lemme play.
彼らは大喜びで私に（ギターを）演奏させてくれた。
2. "let me" の意味
"let me" は、それだけでは不完全な表現で、次のように他の言葉と組み合わせて用いられます：- "let me" の後ろに動詞が続くと「私に（動詞）させて」という意味になります。
- "let me" の後ろに「移動」の意味合いを含む副詞や前置詞（＊）が続くと「私を入れて/出して/降ろして/上げて」などの意味になります。
（＊） "in" や "into"、"out"、"out of"、"down"、"up" など
- 慣用句 "let me down" で「私をがっかりさせる」という意味です。
- 慣用句 "let me in on～" で「私に～（秘密）を明かす」とか「私を～に参加させる」という意味です。
上記の１～４いずれの意味でも、"let me" が "lemme" という形になり得ます。
3. 例文
"let me" の例文と "lemme" の例文を取り混ぜて記載します。3.1.「～させて」
Let me (lemme) drive you home.
あなたを家まで（車で）送らせて。
3.2.「移動」の副詞や前置詞と
3.2.1. "in" と
Just let me (lemme) in.
とにかく中に入れてちょうだい。
＃ この "in" は副詞。 "just" には色々な意味がありますが、ここでは「とにかく」という意味。
3.2.2. "into" と
Let me (lemme) into your life.
私を君の人生に入らせてくれ。
＃ 「結婚しようよ」的な意味でしょう。 この "into" は前置詞。
3.2.3. "out" と
Let me (Lemme) out!
外に出してくれ！
＃ この "out" は副詞。
3.2.4. "up" と
Let me (lemme) up there!
そこに上がらせて！ "up there" は副詞句。
3.2.5. "down" と
Let me (Lemme) down!
（地面や床などに）降ろしてくれ！
＃ この "down" も副詞。
3.3. 慣用句に用いられる "let me (lemme)"
3.3.1. let me (lemme) down
Don't let me (lemme) down.
がっかりさせないでくれ。
＃ "let me down" で「がっかりさせる」。 この "down" も副詞。 "lemme down" はネットで検索であまり用例が見つからない。
She let me (lemme) down.
①彼女は私を失望させた。 ②彼女は私を降ろしてくれた。
＃ ①と②２通りの意味が考えられる（慣用句としては①）。
この文が過去形であることに留意。 現在形だと "She lets me..." となるので "lemme" にならない。
この例文の存在から、"lemme" が命令文（"Lemme..." で始まり「私に～させろ」という意味になる）以外でも使われることがわかる。3.3.2. let me (lemme) in on
"let me in on～" の成り立ち
"let me in on～" は "let me in" と "on" に分かれるでしょう：
- let me in ： 先述の "let me in"。「私を入れて」
- on ：「～に関して」を意味する前置詞としての "on"
"let me in on～" の例文
After a few more beers, he let me in on some of his secrets of success.
彼はビールをもう数杯飲んだのち、彼の成功の秘密の一部を私に明かしてくれた。
＃ "let me in on～" には「私に～（秘密）を明かす」という意味と「私を～に参加させる」という意味がありますが、この例文では「秘密を明かす」のほうの意味で使われています。 "let me in on～" の "in" は副詞で "on" は前置詞。
Lemme in on some of your dark side!
お前の暗黒面の一部をオレに教えてくれ（明かしてくれ）！
＃ 「暗黒面」とは「性格や性癖のうち人に知られなくない部分（秘密にしている内面的な部分）」ということでしょう。