質問： "he don't～" や "she don't～" って間違いですよね？
回答： おっしゃる通り間違いです。 正しくは、"(s)he doesn't～" です。
しかし、英語を母国語とする人であっても、"doesn't" となるべきところを "don't" することがあります。
実例
例えば、Elizabeth (Sissy) Spacek という米国の歌手（1949年～）の曲に「He Don't Know Me」があります。 この曲名は "He doesn't know me" と同じく「彼は私を知らない」という意味です。
辞書
英語の辞書にも、「"don't" は "do not" だけでなく "does not" の短縮形でもある」と記載するものがあります。 ただし、そういう辞書でも "does not" の短縮形としての "don't" については、「標準的ではない用法あるいは方言」と但し書きがあります。