1. 意味
"another day or two" は「もう１日か２日」という意味です。
I need another day or two to make up my mind.
決心するのに（私は）もう１日か２日が必要だ。
2. 解説
2.1. 省略
"another day" は "another day or two days" の "days" が省略された表現です。
さらに言えば、"another day or two days" は "another day or another two days" が省略された表現です。
2.2. 文法的におかしい？
"another two days" という表現は文法的に間違っているように思えます。 "another" は複数の名詞（この話では "two days"）と共には用いられないからです。
しかし実際には、期間・距離・回数などの単位を表す名詞は複数であっても "another" と共に使われます。 "another two days" もそのうちの１つで、英語として立派に通用する表現です。
他にも次のように「another ＋ 複数の単位」の使用例は枚挙にいとまがありません：- another three months ― もう３ヶ月
- another four miles ― さらに４マイル
- another two times ― さらに２回
- another five grams ― もう５グラム
「さらに」と「もう」は適当に使い分けました。
「another ＋ 複数の単位」は恐らく、"three months" や "two miles" を１まとまりの単位とみなし、それを「もう１セット」ということで "another～" という言い方をしているのでしょう。