質問：「プロミシングヤングウーマン」とかの「プロミシング」とは、どういう意味ですか？
回答：「有望な」という意味です。
なので、「プロミシング・ヤング・ウーマン」の意味は「将来有望な若い女性」です。
詳しくは以下をご覧ください。
1. 英語に戻すと
「プロミシング」を英語に戻すと "promising"。 この "promising" の意味が「有望な」です。
2. 言葉の成り立ち
2.1. 動詞 "promise"
"promising" は動詞 "promise"(1) の現在分詞(2) が形容詞として定着した言葉です。(1) "promise" には名詞の意味もある。 名詞 "promise" の意味は「約束」
(2) "～ing" で終わる。 動詞と形容詞の性質を併せ持つ。 例えば、「a running dog（走っている犬）」の "running" は形容詞として名詞 "dog" を修飾する。2.2.「予期させる」の意味
動詞 "promise" は「約束する」という意味のほか、「（状況や兆候によって）予期させる」という意味があります。
The sky promises a storm.
空が嵐を予期させる。
＃ 嵐になりそうな空模様です。
Tonight's meeting promises to be difficult.
今夜の会議は困難になると予期させる。
2.3.「良好に予期させる」の意味
「予期させる」の意味の "promise" は、次のようにポジティブな言葉と併用して良い意味にも使われます。
She promises to be a fine soprano.
彼女は優れたソプラノ歌手になると予期させる。（→ 彼女はソプラノ歌手として有望である）
She promised well as an actress.
彼女は女優として良好に予期させた。（→ 彼女は女優として有望だった）
The young man promised well — that is, promised to become eminent as a man of talents.
このように「良い意味」で使われる動詞 "promise" の現在分詞の「良い」に相当する言葉(*) が省略され形容詞として定着したのが "promising" です。
その若者は良好に予期させた（将来が有望だった）。 －つまり、才ある人物として傑出すると予期させた。
(*) "fine" や "well"。
3. 形容詞 "promising" の用例
a promising young lawyer
将来有望な若い弁護士
a promising young woman
将来有望な若い女性
a promising plan
有望な計画