質問：「ステイ・クロース」とは、どういう意味ですか？
回答：「そばにいて」という意味です。
詳しくは以下をご覧ください。
1. 英語に戻すと
「ステイ・クロース」を英語に戻すと "Stay close." です。
2. 英語の解説
2.1. 単語の意味
"stay" と "close" の意味は次の通り：
- stay ・・・「（特定の場所・状態・状況に）とどまる」などを意味する動詞。
- close ・・・「近くに」などを意味する副詞。
"close" について
"close" は「閉じる」という意味が有名ですが、「近い」や「近くに」という意味もあります。
こうした"close" は、次のように発音が異なります：
- 動詞「閉じる」の意味の "close" ・・・クローズ（またはクラウズ）
- 形容詞「近い」の意味の "close" ・・・ クロース（またはクラウス）
- 副詞「近くに」の意味の "close" ・・・ クロース（またはクラウス）
「閉じる」の意味のときに語末の発音が濁り、「近い/近くに」の意味のときは濁らないわけです。
2.2. 文全体
"Stay."
"Stay close." は命令文（～しなさい）です。
命令文では主語が省略(*) され、動詞で文が始まります。
"Stay." の１語だけで、「とどまりなさい」を意味する命令文として成立します。
"Stay close."
この命令文 "Stay." に「close（近くに）」が付加されたのが "Stay close." です。
(*) 命令文で省略される主語は "You"。 命令文が常に「あなた」に向けられる発言だからです。
直訳と意訳
"Stay close." の直訳は「（私の）近くにとどまりなさい」。 ですが、歌謡曲に登場する「ステイ・クロース」は恋愛的な意味合いでしょうから、「そばにいて」が適訳でしょう。