意味
"You're the other half that makes me whole" は「君は僕が完全であるための残りの半分だ」という意味です。 「キミは僕の半身にも等しい存在だ」というわけです。
解説
全体
"You're the other half that makes me whole." は、"You are the other half.（君は残りの半分だ）" と "The other half makes me whole.（その半分は僕を完全にする）" という２つの文を、関係代名詞である "that" を用いて合体させた文です。
大雑把な説明になりますが、"You are the other half." と "The other half makes me whole." とで "the other half" という部分が共通しているので、２つ目の "the other half" を関係代名詞の "that" に置き換えたという感じです。
前半部
"You're the other half" の部分が「君は残りの半分だ」という意味です。 何の半分かと言えば「僕という人間を構成するパーツのもう半分」です。
後半部
そして、"～that makes me whole" の部分が「僕を完全にする～」という意味です。 "that makes me whole" は "that" に導かれる関係代名詞節で、"the other half" という名詞句を修飾する形容詞節として機能しています。
"makes me whole" の "make" は、「me を whole にする」という意味で使われています。 "me" は「僕」という意味で、"whole" は「完全な（欠けている部分が無い）」という意味です。